Una idea clara.
Un paso a la vez.

Una entrada, una salida.

Una regla duplica cada número y suma uno: $f(x)=2x+1$.

1. ¿Qué salidas corresponden a $x=0$, $x=2$ y $x=5$?
2. ¿Puede esa misma regla asignar dos salidas diferentes a $x=2$? Explica.

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

¿Cuál relación es una función?

En cada relación, el primer número del par es la entrada. El dominio es el conjunto de entradas que aparece en los pares.

• Relación A: $(1,4)$, $(2,4)$, $(3,7)$.
• Relación B: $(1,4)$, $(1,6)$, $(2,7)$.

1. ¿Cuál es una función? Justifica.
2. ¿Que una salida se repita impide que la relación sea una función?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

¿Se puede invertir cualquier regla?

Considera $f(x)=x^2$, con dominio en los números reales.

1. ¿Es una función aunque $f(2)=f(-2)$?
2. Si intercambias entradas y salidas, ¿la relación inversa también es una función?
3. ¿Cómo podrías restringir el dominio original para que la relación inversa sí sea una función?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Del número a su imagen.

Considera $f(x)=3x-2$, con dominio real.

1. ¿Cuál es la imagen de $4$?
2. ¿Cuál es la preimagen de $7$?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Una salida, ¿cuántas preimágenes?

Considera $g(x)=x^2$, con dominio real.

1. ¿Cuáles son las imágenes de $-3$ y $3$?
2. ¿Cuáles son todas las preimágenes de $9$, de $0$ y de $-1$?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

El dominio cambia la respuesta.

Dos funciones tienen la regla $x^2-4$. La primera admite cualquier número real; la segunda solo admite $x\ge0$.

1. ¿Cuáles son las preimágenes de $5$ en cada función?
2. ¿Tienen el mismo conjunto de valores de salida?
3. ¿Por qué conocer solo la expresión no siempre basta?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Entradas con unidades.

Un vehículo mantiene una rapidez de $60$ kilómetros por hora. La distancia recorrida se modela como $d(t)=60t$, con $t\ge0$.

1. ¿Cuál es la variable independiente y cuál la dependiente?
2. ¿Qué unidades tiene cada una?
3. ¿Qué significa $d(2)=120$?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

¿Qué representa cada dato?

El costo de producir $n$ piezas es $C(n)=500n+2000$, en pesos. Se consideran cantidades enteras no negativas.

1. ¿Qué variables aparecen y cuál depende de cuál?
2. ¿Qué representan $500$ y $2000$?
3. ¿Tiene sentido evaluar $C(2\mathord{,}5)$ para contar piezas completas?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

¿Se pueden intercambiar las variables?

Un pedido cuesta $C(n)=1500n+2000$ pesos, donde $n$ es una cantidad entera positiva.

1. ¿Puedes expresar $n$ en función del costo?
2. ¿Los costos de $6500$ y $6000$ pesos corresponden a pedidos posibles?
3. ¿Qué cambia al usar el costo como entrada?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Observa el signo, explica la idea.

Considera la función:

1. ¿La recta sube, baja o es horizontal? ¿Cómo lo sabes?
2. Si $x$ aumenta en una unidad, ¿cuánto cambia $f(x)$?

Inténtalo en tu cuaderno antes de abrir la solución.

Tres expresiones, tres comportamientos.

Observa estas funciones:

1. ¿Cuál sube, cuál baja y cuál es horizontal? Justifica usando la pendiente.
2. ¿Una recta que corta el eje vertical por debajo de cero necesariamente baja? Usa un ejemplo de esta lista.

Puedes comprobarlo calculando algunos valores.

¿Qué cambia al cambiar un parámetro?

Considera esta familia de funciones, donde $a$ es un número real:

1. ¿Para qué valores de $a$ la recta sube, baja o es horizontal?
2. ¿Qué punto comparten todas estas rectas? Explica por qué.
3. ¿Pueden dos valores distintos de $a$ producir rectas con la misma pendiente?

Prueba algunos valores y después formula una conclusión general.

Dos puntos para encontrar la recta.

Una recta pasa por los puntos $A=(1,3)$ y $B=(3,7)$.

1. ¿Cuál es su pendiente?
2. ¿Cuál es el valor de $b$ y la expresión de la función?
3. ¿Cómo compruebas que la expresión representa ambos puntos?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

¿Cuánto cuesta imprimir?

Un servicio de impresión cobra un cargo fijo por pedido y un precio constante por afiche. Un pedido de $2$ afiches cuesta $4200$ pesos y uno de $5$ cuesta $7800$ pesos.

1. ¿Qué expresión permite calcular el costo $C(x)$ de un pedido de $x$ afiches?
2. ¿Qué representan la pendiente y el término independiente?
3. ¿Cuánto costaría un pedido de $8$ afiches con la misma tarifa?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

¿Dos puntos siempre son suficientes?

Un estudiante afirma: «Con dos puntos distintos siempre puedo construir una función de la forma $f(x)=mx+b$».

Analiza estos pares:

• Primer par: $A=(2,5)$ y $B=(2,9)$.
• Segundo par: $P=(2,5)$ y $Q=(6,5)$.

1. ¿En cada caso existe una función de esa forma? Justifica sin limitarte a aplicar la fórmula.
2. ¿Cómo reformularías la afirmación para que fuera correcta?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Dos ejes, dos puntos de corte.

Considera la función:

1. ¿En qué punto corta el eje vertical?
2. ¿En qué punto corta el eje horizontal?
3. ¿Cómo compruebas ambos resultados?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

¿Hasta cuándo sirve el modelo?

Una batería comienza con un $90\,\%$ de carga y pierde $15$ puntos porcentuales por hora. Mientras se descarga, se modela su carga mediante:

$t$ es el tiempo en horas desde que comienza la observación y $C(t)$ es la carga expresada como porcentaje.

1. ¿Cuáles son las intersecciones con los ejes y qué significan?
2. ¿Tiene sentido usar este modelo a las $7$ horas? Justifica.
3. ¿En qué intervalo de tiempo es coherente este modelo para la descarga observada?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

¿Todas las rectas cortan ambos ejes?

Analiza las funciones de la forma $f(x)=mx+b$, donde $m$ y $b$ son números reales.

1. ¿Todas cortan el eje vertical? ¿Por qué?
2. ¿Puede haber ninguna, una o infinitas intersecciones con el eje horizontal? Describe las condiciones de cada caso y da un ejemplo.
3. Si el corte con el eje horizontal es $(0,0)$, ¿la pendiente necesariamente es cero?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Reconoce el término cuadrático.

Observa estas expresiones:

1. ¿Cuáles son cuadráticas?
2. ¿Cuáles son sus coeficientes $a$, $b$ y $c$?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Un área que cambia.

Un rectángulo tiene lados de $x$ y $10-x$ metros.

1. ¿Qué expresión representa su área $A(x)$?
2. ¿Es una función cuadrática? Identifica sus coeficientes.
3. ¿Qué valores de $x$ permiten un rectángulo con ambos lados positivos?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

¿Cuándo deja de ser cuadrática?

Considera $q_k(x)=(k-1)x^2+2x+3$, con $k$ real.

1. ¿Para qué valores de $k$ es cuadrática?
2. ¿Qué ocurre cuando $k=1$?
3. ¿Qué punto del eje vertical comparten todas las gráficas?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Mira el coeficiente correcto.

Considera:

1. ¿Hacia dónde abre cada parábola?
2. ¿Qué dato de la expresión permite decidirlo?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

¿El signo final puede engañarnos?

Un compañero dice: «Si el último número es negativo, la parábola abre hacia abajo».

1. ¿Qué apertura tiene cada gráfica?
2. ¿Cuál de ellas permite refutar la afirmación?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Un signo delante del parámetro.

Considera $f_a(x)=-ax^2+2x+1$.

1. ¿Qué ocurre con la apertura cuando $a>0$ y cuando $a<0$?
2. ¿Qué sucede si $a=0$?
3. ¿Es correcto decir «si el parámetro es positivo, abre hacia arriba»?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Encuentra las dos coordenadas.

Considera $f(x)=x^2-6x+5$.

1. ¿Cuál es su vértice?
2. ¿Corresponde a un máximo o a un mínimo?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

¿Cuándo alcanza la mayor altura?

La altura de un objeto se modela como $H(t)=-5t^2+20t+1$, en metros, durante su vuelo. El tiempo $t$ se mide en segundos desde el lanzamiento.

1. ¿Cuándo alcanza la altura máxima?
2. ¿Cuál es esa altura?
3. ¿Por qué ambas respuestas son necesarias?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

El mismo vértice, ¿la misma parábola?

Compara:

1. ¿Comparten el vértice?
2. ¿En qué se diferencian sus valores máximos o mínimos?
3. ¿Conocer el vértice determina una única función cuadrática?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Una recta que divide la parábola.

Considera $f(x)=-x^2+8x-7$.

1. ¿Cuál es su eje de simetría?
2. ¿Qué relación esperas entre $f(3)$ y $f(5)$? Compruébala.

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Lo que revelan dos raíces.

Una función cuadrática tiene raíces $2$ y $8$.

1. ¿Cuál es su eje de simetría?
2. ¿Se puede conocer la altura del vértice solo con esas raíces?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

¿Dos alturas iguales bastan?

Una función cuadrática pasa por $(1,6)$ y $(7,6)$.

1. ¿Puedes determinar su eje de simetría sin conocer la expresión?
2. ¿La misma conclusión serviría para cualquier función?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

El valor en cero.

Considera $f(x)=2x^2-3x-5$.

1. ¿Cuál es el valor de $f(0)$?
2. ¿En qué punto corta el eje vertical?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

¿La forma de la expresión importa?

La función está escrita como $g(x)=2(x-1)^2-8$.

1. ¿Cuál es su intersección con el eje vertical?
2. Un compañero responde $(0,-8)$. ¿Qué confundió?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

¿Cuándo coincide con el vértice?

Considera $f(x)=ax^2+bx+c$, con $a\ne0$.

1. ¿Qué condición debe cumplir $b$ para que el corte con el eje vertical sea también el vértice?
2. Si ese corte es $(0,3)$, ¿queda determinada una única parábola? Justifica.

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Un producto que vale cero.

Considera $f(x)=(x-2)(x+3)$.

1. ¿Cuáles son sus raíces?
2. ¿Cuáles son los puntos de corte con el eje horizontal?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Cuando la factorización no es inmediata.

Resuelve $x^2-2x-1=0$.

1. ¿Cuáles son las raíces exactas?
2. ¿Cuáles son sus aproximaciones a dos decimales?
3. ¿Qué indica el discriminante?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Un parámetro cambia las raíces.

Considera $q_k(x)=x^2-4x+k$.

1. ¿Para qué valores de $k$ hay dos raíces reales distintas, una raíz doble o ninguna raíz real?
2. ¿Cómo se relaciona esto con la altura del vértice?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

¿Dónde aparece la variable?

Observa:

1. ¿Cuáles son exponenciales?
2. ¿Cuánto valen $f(0)$, $f(1)$ y $f(2)$?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

¿Se suma o se multiplica?

Para entradas $x=0,1,2$, dos modelos entregan:

• Modelo A: $3,6,12$.
• Modelo B: $3,5,7$.

1. ¿Qué patrón es compatible con un modelo exponencial de factor constante?
2. Propón una expresión para cada patrón y predice la salida en $x=3$.

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Distinta escritura, ¿misma función?

Considera $f(x)=2^x$ y $g(x)=4^{x/2}$, ambas con dominio real.

1. ¿Son funciones distintas o expresiones de la misma función?
2. ¿Basta comprobarlo en dos entradas para demostrarlo?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Compara la base con uno.

Considera:

1. ¿Cuál crece y cuál decrece?
2. Comprueba con las entradas $0$, $1$ y $2$.

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Un número grande no decide el crecimiento.

Compara $A(t)=500(0\mathord{,}8)^t$ y $B(t)=20(1\mathord{,}1)^t$, para $t\ge0$.

1. ¿Cuál crece y cuál decrece?
2. ¿Qué valor toma cada modelo en $t=0$ y en $t=1$?
3. ¿El modelo que empieza más alto necesariamente crece?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Cuando el coeficiente es negativo.

Considera $f(x)=-3\left(\frac12\right)^x$.

1. ¿Crece o decrece? Usa primero $x=0,1,2$.
2. ¿Por qué no basta mirar la base?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Muy pequeño no es cero.

Considera $f(x)=2^x$.

1. ¿Cuánto valen $f(-1)$, $f(-2)$ y $f(-3)$?
2. ¿Puede alguna entrada real producir exactamente cero?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

El desplazamiento cambia el corte.

Considera $g(x)=2^x-4$.

1. ¿En qué punto corta el eje horizontal?
2. ¿Cuál es su valor en cero?
3. ¿Contradice esto lo que ocurre con $2^x$?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

¿Cuándo aparece una raíz?

Considera $f_k(x)=2^x+k$, con dominio real.

1. ¿Para qué valores de $k$ existe un corte con el eje horizontal?
2. ¿Podría haber dos cortes horizontales en una misma función de esta familia?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

El valor cuando el tiempo es cero.

Una cantidad se modela mediante $N(t)=250(1\mathord{,}2)^t$. El tiempo $t=0$ marca el comienzo de la observación.

1. ¿Cuál es la cantidad inicial?
2. ¿Cuál es la cantidad al finalizar el primer período?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Hay un término adicional.

Considera $R(t)=80(0\mathord{,}9)^t+20$, con $t\ge0$.

1. ¿El valor inicial es $80$ o $100$? Justifica.
2. ¿Cuál es el valor después de un período?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Cambiar el origen del tiempo.

Una cantidad se modela como $N(t)=160\cdot2^t$, con el tiempo medido en días. Otra persona comienza a observarla cuando $t=3$ y usa un nuevo tiempo $s=0$ en ese instante.

1. ¿Cuál es la cantidad inicial para esta nueva observación?
2. ¿Cómo se escribe el mismo modelo en función de $s$?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.

Dos aumentos del diez por ciento.

Una cantidad inicial de $1000$ aumenta un $10\,\%$ por período.

1. ¿Cuál es el factor multiplicativo?
2. ¿Cuánto vale después de uno y de dos períodos?
3. ¿El aumento total al segundo período es del $20\,\%$?

Inténtalo antes de abrir la solución. Usa la pista si necesitas apoyo.